Задача о падающей линейке№ 1
Автор: Большой Грызь
Дата : 06-12-02, Птн, 18:43:30

Около стены стоит линейка.
На линейке отмечена точка, которая делит линейку в отношении m:n.
Линейка начинает падать так, что нижний край линейки начинает скользить по горизонтальной поверхности, а верхний - по вертикальной стенке.
Какую кривую опишет отмеченная точка?












Предыдущая задача не такая сложная, но есть и ее продолжение.
На этот раз у стены стоит не линейка, а прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с, прислоненный к стене своей гипотенузой.
Точно также, как и в предыдущем случае треугольник начинает сползать, не отрываясь от стенки и пола.
Какую кривую опишет вершина прямого угла?









--------------------------------------------------------
All things good to know are difficult to learn.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 2
Автор: Паша
Дата : 06-12-02, Птн, 19:30:31

Первое тоже не совсем очевидно, но у меня получился элипс, фокусы которого лежат на одной из оси симметрично центру и квадрат расстояния от центра до фокуса равен разницы квадратов расстояний от точки до концов отрезка.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 3
Автор: Большой Грызь
Дата : 06-12-02, Птн, 19:42:03

Первое правильно. Местоположение фокусов указывать не надо - достаточно указать длину осей, а это просто (отношение осей также равно m:n).

Но вторая сложнее..
--------------------------------------------------------
All things good to know are difficult to learn.
[ 07-12-02, Sat, 2:43:04 Отредактировано: Большой Грызь ]
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 4
Автор: Паша
Дата : 06-12-02, Птн, 19:50:11

Грызь, а как доказать, что это таки элипс, если не учитывать расположение его фокусов?
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 5
Автор: Большой Грызь
Дата : 06-12-02, Птн, 20:02:31

Ну доказать-то на самом деле просто.
В данном случае проще всего вывести две простые формулы:
Xpoint (X) = X*m/(m+n)
Ypoint (X) = sqrt((m+n)^2-X^2)*n/(m+n),где
   Xpoint, Ypoint - координаты отмеченной точки,
   Х - координата нижней точки линейки.
   (кажется так, но могу и ошибиться на ночь глядя)
А затем выразить Ypoint через Xpoint.
Две строчки и получаешь формулу эллипса.
Из-за простоты я и не спрашиваю доказательства, а только ответа, а достаточным является ответ "эллипс с отношением осей m:n"
--------------------------------------------------------
All things good to know are difficult to learn.
[ 07-12-02, Sat, 12:22:27 Отредактировано: Большой Грызь ]
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 6
Автор: Willy
Дата : 07-12-02, Сбт, 04:25:51

y=(b/a)x, т. е. прямая проходящая через начало координат - расчет довольно прямой.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 7
Автор: Паша
Дата : 07-12-02, Сбт, 04:45:48

И действительно, совсем просто...
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 8
Автор: Большой Грызь
Дата : 07-12-02, Сбт, 06:09:17

Вилли
Решил быстрее, чем я думал
Тогда последний вопрос в той же серии. Рисовать картинку уже не буду, но тот же вопрос для произвольного треугольника со сторонами a, b и c.
--------------------------------------------------------
All things good to know are difficult to learn.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 9
Автор: dU
Дата : 07-12-02, Сбт, 06:46:21

А у меня не линейка, а дерево падает

Вот, когда дерево падает, то четко видно, что оно выгибается так, что верхушка падает "медленнее", чем низ, да так, вроде, и должно быть - у пышной кроны парусность больше, чем у относительно тонкого и тяжелого ствола.
Внимание вопрос:
Как такое же дерево будет падать в отсутствие атмосферы? Не надо вычислений, просто объясните свое мнение
__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 10
Автор: Willy
Дата : 07-12-02, Сбт, 10:16:47

Думаю в отличие от случая падения в атмосфере, без воздуха ствол будет выгнут вверх. Действительно, обрежем мысленно ствол, например посередине. В этом случае на верхнюю часть ствола действует сила тяжести, приложенная в центре тяжести и сила со стороны нижней части ствола. Эта последняя сила должна быть направленна вверх, иначе нечему будет ускоренно закручивать верхнюю часть ствола по часовой стрелке: предполагаем, что дерево падает по часовой, направо и рассматриваем уравнение моментов относительно центра тяжести верхней части ствола.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 11
Автор: dU
Дата : 07-12-02, Сбт, 15:39:15

Нет, Willy, ты не прав. Не хочу пока объяснять - пусть и другие попробуют
__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 12
Автор: Паша
Дата : 07-12-02, Сбт, 16:58:33

Да что тут объяснять. Просто верхушке падать дольше, так как она дальше от земли, поэтому низ упадёт раньше и будет тянуть за собой верхушку. Впрочем именно поэтому когда падает дерево без кроны, всё равно оно падает таким же образом. А история с парусностью только увеличивает эфект и была упомянута в качестве подставы...
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 13
Автор: dU
Дата : 07-12-02, Сбт, 17:12:36

Нет, Паша - настоящее дерево без воздуха, действительно, падает, прогибаясь так же, как и с воздухом, но подумай, насколько разница в силе притяжения Землей верхушки отличается от силы притяжения низа ствола - там же совсем копейки выходят! Во всяком случае, недостаточно, чтобы заметно прогнуть ствол корабельной сосны.
__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 14
Автор: Willy
Дата : 08-12-02, Вск, 03:09:52

Действительно предыдущий мой постинг неверен, я сделал расчет, в предположении, что дерево однородный стержень и получил, что выпуклость будет вниз.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 15
Автор: Willy
Дата : 08-12-02, Вск, 05:01:14

Продолжаю, если предположить, что дерево имеет длину L и массу M, причем масса равномерно распределена по длине, то угловое ускорение с учетом момента инерции из табличек равно:

eps = g sin (teta)*3/2, где тета угол отклонения дерева от вертикали. Теперь выберем точку на дереве на расстоянии x от основания и войдем во вращающуюся с угловым ускорением eps, систему отсчета - в ней дерево покоится. Сосчитаем моменты сил инерции и сил тяжести, действующих на верхнюю часть дерева, лежащую выше точки x, относительно этой точки. Расчет показывает, что момент сил инерции, действующих против часовой стрелки (дерево падает направо) больше чем момент сил тяжести, действующих по часовой стрелке и следовательно дерево изогнется выпуклостью вниз, также как и при учете сопротивления воздуха. Величина результирующего момента как следует из расчета равна:

Mg sin(teta)*x*(L-x)^2/(4*L^2), следовательно максимальный момент действует на расстоянии L/3 от основания и здесь дерево достаточно большой массы может сломаться.

Не совсем ясно однако при любом ли распределении массы вдоль дерева изгиб будет в ту же сторону.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 16
Автор: Паша
Дата : 08-12-02, Вск, 08:46:39

ДеЮ, ты меня не понял. Сила тяжести одинаковая, но нижней части, скажем, до падать до земли 1м, а верхушке 3м. А мы знаем, что любое тело падает 3м дольше чем 1м. Именно это и создаёт дополнительное напряжение в корпусе дерева, которое и добавляет скорости верхушки с одной стороны и выгибает дерево вниз с другой.
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 17
Автор: Willy
Дата : 09-12-02, Пнд, 04:14:31

Паша, расчет показывает, что твое объяснение не проходит. Действительно, если то что ты говоришь верно и нижняя часть тянет верхушку, то сила действующая со стороны нижней части на верхушку должна быть направлена вниз. Давай теперь в моей модельке с однородным стержнем сосчитаем эту силу. Как было сказано выше, выберем сечение на расстоянии x от точки опоры, войдем в систему отсчета, вращающуюся с угловым ускорением eps, в которой дерево покоится. В этом случае компонента силы действующей на верхнюю часть со стороны нижней в направлении, перпендикулярном стержню очевидно равна взятой со знаком минус разности между компонентой силы тяжести верхнего куска в направлении нормальном к стержню и интегралом от сил инерции dm*eps*y (y-расстояние до точки опоры), действующих на верхний кусок стержня. Расчет показывает, что эта сила направлена вверх и по величине равна:

M*g*sin(teta)*(3/2x^2+L^2/2-2*x*L)/(2L^2).

(этот же результат можно получить и другим способом в покоящейся системе отсчета, если записать уравнения вращательной динамики для верхней и нижней частей стержня). Из выражения видно, что сила не меняет знак ни при каком x и направлена вверх. Соответственно сила действующая со стороны верхней части на нижнюю направлена вниз. А это значит, что вовсе не нижняя часть тянет верхнюю, а наоборот, верхняя тянет нижнюю!

Если честно у меня нет простого объяснения к этой в общем-то сопроматовской задачке. Может быть дЮ предложит свое решение?

[ 12-12-02, Thu, 10:00:51 Отредактировано: Willy ]
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 18
Автор: dU
Дата : 12-12-02, Чтв, 02:26:18

Ну, решение, к сожаленью, не мое, а Маковецкого
Зато оно простое и интуитивное: представим дерево как серию массивных точек, расположенных на вертикальной линии (вдоль ствола). Теперь дерево падает: каждая точка будет падать вниз, но не прямо (там место занято другими такими же), а по дуге, радиус которой равен высоте этой точки над Землей. Что получилось? Маятники! А период маятника с длинной "ногой" больше, чем с короткой - вот и получается, что те части дерева, что ближе к Земле падают быстрее и тем быстрее, чем ближе
__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 19
Автор: Паша
Дата : 12-12-02, Чтв, 07:33:30

Ну, а я что сказал?
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 20
Автор: dU
Дата : 12-12-02, Чтв, 08:47:15

Паша, значит я тебя не правильно понял
__________

Aleph-null bottles of beer on the wall...
Профиль 

Задача о падающей линейке№ 21
Автор: Паша
Дата : 12-12-02, Чтв, 11:15:36

Я просто забыл добавить, что рассматривал дерево, которое начало падать с полулежащещего состояния, чтобы сразу выявить суть проблемы.
Профиль 


Вы не зарегистрированы либо не вошли в портал!!!
Регистрация или вход в портал - в главном меню.



 Просмотров:   004727    Постингов:   000021